tugba

Rakamlar ve Sayılar

Rakam, sayıları oluşturmada kullanılan sembollerdir. Rakamlar kümesi, kullanılan sayı sistemine göre farklıdır. Yani, sayı sistemi rakamlar kümesini belirler. Bir sayı sistemi, sıfır rakamından başlayıp kendisinin bir eksiği olan rakama kadar olan rakamları içerir. En küçük sayı sistemi, ikilik sayı sistemidir ve 0 ile 1 rakamını içerir.

Örnekler: Sayı sistemleri ve içerdiği rakamlar
İkilik sayı sis. 0 ve 1
Üçlük sayı sis. 0,1 ve 2
Dörtlük sayı sis. 0,1,2 ve 3
Beşlik sayı sis. 0,1,2,3 ve 4
Altılık sayı sis. 0,1,2,3,4 ve 5
Yedilik sayı sis. 0,1,2,3,4,5 ve 6
Sekizlik sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6 ve 7
Dokuzluk sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7 ve 8
Onluk sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ve 9
Onbirlik sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
Onikilik sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Onüçlük sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C
Ondörtlük sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D
Onbeşlik sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E
Onaltılık sayı sis. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Günlük yaşamımızda onluk sayı sistemini kullanıyoruz. Çünkü, sayma işlemlerini ellerimizin 10 parmağı ile yapıyoruz. Şayet, ayaklarımızın üzerinde durmayı öğrenmeseydik, yirmilik sayı sistemini kullanma olasılığımız çok yüksek olacaktı.

Sayı ise, kullanılan sayı sisteminin rakamlarının yan yana getirilmesiyle oluşturulur. Örneğin, onluk sayı sisteminde

1, 6, 10, 19, 99, 100, 159, 199, 1000, 1187, 1999, ...

sayılarını yazabiliriz. İkilik sayı sisteminde de

1, 10, 11, 100, 101, 110, 1000, 1001, 1010, 1111, ...

şeklinde sayılar kullanabiliriz.

Her rakam bir sayıdır. Fakat, her sayı bir rakam değildir.

Sayılar Kümesi:

Sayılar kümesini tanımlarken, onluk sayı sistemini kullanacağız. Sayılar kümesi, onluk sayı sisteminde aralarında ortak özellik bulunan sayılar topluluğu olarak tanımlanır.

Doğal Sayılar Kümesi:

N = { 0,1,2,3,4,5,6,...}

Sayma Sayıları Kümesi:

N+ = { 1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Pozitif Tamsayılar Kümesi:

Z+ = {1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Negatif Tamsayılar Kümesi:

Z- = { ...,-6,-5,-4,-3,-2,-1 }

Tamsayılar Kümesi:

Z = { ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }

Z = Z- U {0} U Z+

U : Birleşim (Bir araya getirme)

Ardışık Tamsayılar Kümesi:

n Z olmak üzere,

{..., n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3,...}

şeklindeki tamsayılar topluluğudur. Ardışık tamsayılar arasındaki fark, aksi belirtilmediği sürece

+1 veya –1

kabul edilmelidir.

Çift Tamsayılar Kümesi:

n Z olmak üzere,

...,2n-4, 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4, ...

şeklindeki tamsayılar topluluğu ardışık çift tamsayıları oluşturur. İki ardışık çift tamsayı arasındaki fark, 2’ dir. Bir çift tamsayı, 2’ ye bölündüğünde 0 kalanını verir. Yani,

a = 0 (mod.2) ise, a çift sayıdır.

Çift tamsayılar kümesini açıkça,

Ç = { ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}

şeklinde gösterebiliriz. Çift tamsayıların birler basamağındaki sayılar

{ 0, 2, 4, 6, 8 }

dir.

Tek Tamsayılar Kümesi:

n Z olmak üzere,

...,2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3, ...

şeklindeki tamsayılar topluluğu, ardışık tek tamsayıları oluşturur. İki ardışık tek tamsayı arasındaki fark, 2’ dir. Bir tek tamsayı, 2’ ye bölündüğünde 1 kalanını verir. Yani,

a = 1 (mod.2) ise, a tek sayıdır.

Tek tamsayılar kümesini açıkça,

T = { ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...}

şeklinde yazabiliriz. Tek tamsayıların birler basamağındaki sayılar

{ 1, 3, 5, 7, 9 }

dir.

Tek ve Çift Tamsayıların Özellikleri:

1. Ç + Ç = Ç, Ç – Ç = Ç

2. T + T = Ç, T – T = Ç

3. Ç + T = T, Ç – T = T

4. Ç . Ç = Ç, Ç . T = Ç

5. T . T = T

6. n Z+ olmak üzere, Çn = Ç, Tn = T

7. Ç / Ç = T veya Ç, Ç / T = Ç

Örnek 1:

4n - 7 ile 5n + 8 sayısı, ardışık iki tamsayı ise, n' nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Ardışık iki tamsayının farkı, -1 veya +1 olması gerektiğinden,

5n + 8 - ( 4n - 7 ) = - 1

5n + 8 - 4n + 7 = - 1

n + 15 = -1

n = - 1 - 15

n = - 16


5n + 8 - ( 4n - 7 ) = 1

5n + 8 - 4n + 7 = 1

n + 15 = 1

n = 1 - 15

n = - 14

n değerlerinin toplamı = - 16 + ( - 14) = - 16 - 14 = - 30 olur.

Örnek 2:

Ardışık iki çift tamsayının toplamı 22 ise, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Çözüm:

Ardışık çift tamsayılar 2n ile 2n + 2 olsun. Bu sayıların toplamı 4n + 2 olduğundan,

4n + 2 = 22

4n = 22 - 2

4n = 20

n = 5

olur.


Küçük olan sayı 2n olduğundan,

2n = 2.5 = 10

bulunur.



Örnek 3:

n bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift tamsayıdır?

a) 3n b) n2 - n c) 2nn d) n2 + n - 1 e) 2n + 3

Çözüm:

Bu tip sorularda çift tamsayı olarak 0, tek tamsayı olarak 1 alınarak seçenekler test edilmelidir.

a) n = 0 için, 3n = 3.0 = 0 (çift), n = 1 için 3.n = 3.1 = 3 (tek)

b) n = 0 için n2 - n = 02 - 0 = 0 (çift), n = 1 için n2 - n = 12 - 1 = 0 (çift)

c) n = 2 için 2nn = 2.22 = 2.1 = 2 (çift), n = 1 için 2nn = 2.11 = 2 (çift)

d) n = 0 için n2 + n -1 = 02 + 0 -1 = -1 (tek), n = 1 için 12 + 1 - 1= 1 (tek)

e) n = 0 için 2n + 3 = 2.0 + 3 = 3 (tek), n = 1 için 2n + 3 = 2.1 + 3 = 5 (tek)

Seçeneklerden a, d ve e kesinlikle tek sayı olduğundan cevap olamaz. Diğer taraftan, c şıkkı da cevap olamaz. Çünkü n = 0 ve n nin negatif değerleri için tanımsızdır.

Dolayısıyla, kesinlikle çift tamsayı olan seçenek, b dir.

Diğer taraftan, n2 - n = n . ( n - 1) şeklinde yazılabileceğinden, n - 1 ile n in ardışık tamsayılar oldukları görülür. Bu nedenle, bu iki sayıdan birinin mutlaka çift tamsayı olması gerektiğinden, çarpımın sonucunun mutlaka çift tamsayı olması gerekir.

Örnek 4:

m, n ve p tamsayılar olmak üzere, ( 2.m + n ) / 6 = p ise, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

a) m tek sayıdır b) m çift sayıdır c) n tek sayıdır

d) n çift sayıdır e) p tek sayıdır

Çözüm:

2m + n = 6p dir. m ve p ne olursa olsun 2m ile 6p kesinlikle çifttir. Bu takdirde,

Ç + n = Ç

olduğuna göre, n nin kesinlikle çift olması gerekir.

Diğer taraftan, bu soru denklik sınıfları kullanılarak da çözülebilir. 2m + n = 6p dir. 2m, 2 ile tam bölündüğünden kalan 0; 6p, 2 ile tam bölündüğünden kalan 0 dır. Buradan,

0 + n = 0

olması için, n nin 2 ile tam bölünmesi gerekir, yani kalanının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n kesinlikle çift olmalıdır.



Onluk Sayı Sisteminde Bir Sayının Basamak (Hane) Çözümlemesi:

Basamak (hane) kavramı, bir sayıda yer alan her rakamın bulunduğu konumu ifade eder. Ele alacağımız sayılar onluk sayı sisteminde olsun. Bu takdirde, basamak çözümlemesini şöyle yaparız:

ab = 10.a + b (a, onlar ve b de birler basamağıdır)

abc = 100.a + 10.b + c (a yüzler, b onlar, c onlar basamağıdır)

abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d (a binler, b yüzler, c onlar, d birler basamağı)

abcde = 10000.a + 1000.b + 100.c + 10.d + e

(a onbinler, b binler, c yüzler, d onlar, e birler)

Örnekler:
Örnek 1 10 1

a b = 10.a + 1.b
Örnek 2 10 1

b a = 10.b + 1.a
Örnek 3 10 1 10 1

a b + b a = 10.a + 1.b + 10.b + 1.a

= 11.a + 11.b

= 11.(a + b)
Örnek 4 10 1 10 1

a b - b a = 10.a + 1.b - 10.b - 1.a

= 9.a - 9.b

= 9.(a - b)
Örnek 5 100 10 1

a b c = 100.a + 10b + 1.c
Örnek 6 100 10 1

b a c = 100.b + 10a + 1.c
Örnek 7 100 10 1

a c b = 100.a + 10c + 1.b
Örnek 8 100 10 1

c b a = 100.c + 10b + 1.a
Örnek 9 100 10 1 100 10 1

a b c - b a c = 100a+10b+c - (100b+10a+c)

= 90a-90b

= 90.(a-b)
Örnek 10 100 10 1 100 10 1

a b c - a c b = 100a+10b+c - (100a+10c+b)

= 9b-9c

= 9.(b-c)
Örnek 11 100 10 1 100 10 1

a b c - c b a = 100a+10b+c - (100c+10b+a)

= 99a-99c

= 99.(a-c)
Örnek 12 100 10 1 100 10 1

a b c + b a c = 100a+10b+c + (100b+10a+c)

= 110a+110b+2c

= 110.(a+b) + 2c

Örnek 13:

(ab) ile (ba) iki basamaklı sayılar olduğuna göre,

ab + ba = 165

ise, (ab) şeklinde yazılabilecek iki basamaklı çift sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

ab + ba = 165

( 10a + b ) + ( 10b + a ) = 165

11a + 11b = 165

11.( a + b ) = 165

a + b = 165/11

a + b = 15

a= 9, 8, 7, 6 değerlerini alırken, b = 6, 7, 8, 9 değerlerini alması gerekir. Yani,

a + b = 15 koşulunu sağlayan ( ab) sayıları şunlardır:

{ 96, 87, 78, 69 }

Bu sayılardan 96 ile 78 çift sayıdır. Dolayısıyla, bu sayıların toplamı

96 + 78 = 174

olur.

Örnek 14:

İki basamaklı ( ab ) sayısı

ab = 7a + 2b

koşulunu sağladığına göre, iki basamaklı ( ab ) sayılarından en büyüğünün rakamları toplamı kaçtır?

Çözüm:

ab = 7a + 2b

10a + b = 7a + 2b

10a - 7a = 2b - b

3a = b olur.

Buradan, a = 1, 2, 3 değerlerini alırken b = 3, 6, 9 değerlerini alabileceğinden, 3a = b koşulunu sağlayan sayılar

{ 13, 26, 39 }

dir. Bu sayılardan en büyüğü 39 olduğundan, bu sayının rakamları toplamı

3 + 9 = 12

olur.

Örnek 15:

( ab ) iki basamaklı bir sayı olduğuna göre, ab nin 1 fazlasının yarısı, bu sayının rakamları toplamının 3 katına eşit oluyorsa, bu koşulu sağlayan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Çözüm:

( ab + 1 ) / 2 = 3 . ( a + b ) dir.

ab + 1 = 6 . ( a + b )

10a + b + 1 = 6a + 6b

10a - 6a + 1 = 6b - b

4a + 1 = 5b

olur. Bu koşula göre, a = 1, 6 değerlerini alabilirken, b = 1, 5 değerlerini alabilir. Dolayısıyla, 4a + 1 = 5b koşulunu sağlayan iki basamaklı sayılar

11 ve 65

olur. Buradan, iki basamaklı 2 tane sayı bulunur.

Örnek 16:

Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 4 arttırılıyor, onlar basamağı 2 eksiltiliyor, birler basamağı da 6 arttırılıyor. Buna göre, bu sayının değeri ne kadar artar?

Çözüm:

Sayının yüzler basamağı 4 arttırıldığı için, sayının değeri 400 artar.

Sayının onlar basamağı 2 eksiltildiği için, sayının değeri 20 eksilir.

Sayının birler basamağı 6 arttırıldığı için, sayının değeri 6 artar.

Dolayısıyla, bu sayının değerindeki artış miktarı

400 - 20 + 6 = 386

olur.

Örnek 17:

abcd ile badc sayısı, dört basamaklı sayılar olduğuna göre,

abcd - badc = 1809

ise, a + c - b - d = ?

Çözüm:

abcd -badc = 1809

1000a + 100b + 10c + d - ( 1000b + 100a + 10d + c ) = 1809

900a - 900b + 9c - 9d = 1809

900.( a - b ) + 9.( c - d ) = 1809

olur. Buradan,

a - b = 2

c - d = 1

bulunur. Bu iki ifade taraf tarafa toplanarak

a + c - b - d = 1 + 2 = 3

elde edilir.

__________________